课窝官网|新SAT数学考点之“四分位数”分析

　　虽然五月份SAT考试已经结束了，可是后面还有八月份、十月份的考试呀；在SAT备考过程中还是需要不断练习的，不能放松警惕；细心的同学或许发现，在2018年3月份SAT北美卷中，出现了关于SAT“四分位数”（Quartile）这一知识点的考题。综合这几年的考试情况，总的来说，往年关于统计学数值计算这块的知识点主要集中在计算中位数，平均数等，“四分位数”这个知识点绝对是罕见的“稀有物种”，属于考试中出现频率较低的考点。

　　今天课窝官网就和大家来了解一下这个知识点，最重要的是要学会计算四分位数。

　　我们先来认识一下这个全新的知识点：四分位数。

　　四分位数就是指将全部排序好的数据分成相等的四部分，其中每部分包括25%的数据，处在各分位点的数值就是四分位数。

　　四分位数有三个，第一个四分位数，称为下四分位数；第二个四分位数就是中位数；第三个四分位数称为上四分位数，分别用Q1、Q2、Q3表示。

　　我们来用一个简单的数轴表示，这条数轴表示这组数据里面所有的值，很显然，两个端点是这组数据中的最小值Q0和最大值Q4，这组所有的数据的数值应该在Q0和Q4之间。从这个数轴我们可以看出，Q1、Q2和Q3把整条数轴分成了4部分，每部分各占25%。深入一点说，这组数据中有25%的数据小于Q1，50%的数据小于Q2，75%的数据小于Q3。值的一提的是就像中位数一样，Q1和Q3的值，也不一定是这组数据中的某个数据的值。

　　例如1，2，3，4这组数的中位数为2.5，不是这组数据中的某个数据值。

　　实际上，四分位数在数轴上也有自己独特的表示方法，叫做箱形图（Box plot），就是像一个方形的箱子一样,如下图所示。

　　PS：不止有四分位数，还包括中位数（将全部数据分成相等的两部分）、八分位数（将全部数据分成相等的八部分）等等。

　　相信经过简单的介绍后，大家对“四分位数”应该有了初步的认识，我们需要的是会计算四分位数值。Q2为这组数据的中位数，在这里关于Q2计算就不多赘述，最主要的是计算Q1和Q3的值。

　　假设一组待计算的数据共有n个数据，即样本空间为n。

　　01

　　将这组数据进行从小到大排序，并且按数据所在的位置给每个数据分别编号为P(1)，P(2)…P(n)。下面公式中的P(X)表示编号所对应的数据，P(X)的取值自然是这组数据中某个值。

　　02

　　计算下分位数Q1。M=（n+1）/4。M包括整数部分和小数部分，分别令为X和Y，如M=4.5，则X=4，Y=0.5。

　　03

　　根据计算公式Q1=P（X）+Y*[P（X+1）-P（X）]，其中X为M整数部分数值，Y为M小数部分数值，P(X)表示编号所对应的数据。

　　04

　　计算上分位数。L=3（n+1）/4。L包括整数部分和小数部分，分别令为X和Y，如L=4.5，则X=4，Y=0.5。

　　05

　　根据计算公式Q1=P（X）+Y*[P（X+1）-P（X）]，其中X为L整数部分数值，Y为L小数部分数值，P(X)表示编号所对应的数据。

　　公式给人的感觉总是晦涩难懂的，我们来通过一个例子来加深理解。

　　例如：老师统计5名学生今天有多少科课后作业，分别是1，2，4，4，5，计算作业的四分位数。

　　首先，先给这组数据排序。显然，这组数据已经从小到大按着正确的顺序排列。我们再给他们编号为P(1)…P(5)，很显然编号P(1)、P(2)、P(3)、P(4)、P(5)对应的数据是别是1，2，4，4，5。

　　再计算中位数，很容易看出是Q2=4,。

　　然后计算下分数位数，根据公式M=（n+1）/4=（5+1）/4=1.5，所以X=1，Y=0.5，再根据公式Q1=P（X）+Y*[P（X+1）-P（X）]=P（1）+0.5*[P（1+1）-P（1）]=1+0.5*（2-1）=1.5。

　　接着计算上分位数，根据公式L=3（n+1）/4=3*（5+1）/4=4.5，所以X=4，Y=0.5，再根据公式Q3=P（X）+Y*[P（X+1）-P（X）]=P（4）+0.5*[P（4+1）-P（1）]=4+0.5*（5-4）=4.5。

　　最后用箱形图表示为：

　　我们再来看看3月北美的真题。题意如下：

　　For a particular office building with 1,420 employees, Tia and Amir each conducted a survey about the average oneway commute times, in minutes, between the employees’ home and office. Both Tia and Amir selected employees at random, mailed out surveys, and collected data from the returned surveys. For both surveys, respondents were asked to report their average commute times to the nearest 5 minutes. Tia collected data from 150 employees, and Amir collected data from 85 employees. The results from Tia’s and Amir’s returned surveys are summarized below.

       Q1：If T is the median commute time of the employees who responded to Tia’s survey and A is the median commute time of the employees who responded to Amir’s survey, what is the value of T-A ?

　　Q2：Which of the following box plots could represent Amir’s survey data?

　　题意大致是说Tia和Amir对一些工作人员就他们的average oneway commute times进行了统计调查，Tia的统计结果是用箱形图的形式表达，而Amir是用柱状图的形式。

　　第一道题问，T表示Tia统计的commute times时间的中位数，而A表示Amir统计的commute times时间的中位数，求T-A的值。根据前面的箱形图的介绍，我们知道Tia调查的数据的中位数为35，即T=35，而Amir调查的数据的中位数为30，即T=30，所以T-A=5。

　　第二道题问，下面的那个箱形图表示Amir的调查结果。要选出正确的箱形图，必须知道四分位数值。很显然中位数Q2=30，再计算上、下分位数，先给这组数据排序编号，如下图所示。

　　根据计算下分位数计算公式M=(n+1)/4=(85+1)/4=21.5，所以X=21，Y=0.5，再根据公式Q1=P(X)+Y*[P(X+1)-P(X)]=P(21)+0.5*[P(21+1)-P(21)]=25+0.5*(25-25)=25。再根据计算上分位数计算公式L=3(n+1)/4=3*(5+1)/4=64.5，所以X=64，Y=0.5，再根据公式Q3=P(X)+Y*[P(X+1)-P(X)]=P(64)+0.5*[P(64+1)-P(64)]=35+0.5*(35-35)=35。所以箱形图如下：

　　总的来说，关于“四分位数”这一知识点，我们主要是要会计算四分位数值，会根据四分位数画出相应的箱形图，也要能读懂箱形图中个点的含义。毕竟出现过的考点对以后SAT考试内容有个引导作用，还是希望大家能够重视这个知识点。